关于作者

史蒂夫·斯托加茨，是美国康奈尔大学应用数学系的教授，也是一位科普作家，主要代表作有《x的奇幻之旅》。

关于本书

在这本书中，斯托加茨抛开各种理论公式不谈，用一种特别接地气的方式，为我们讲述了在人类文明进程中，微积分到底扮演了什么样的角色？对我们的日常生活又产生了怎样的影响？

核心内容

微积分在人类文明进程中，解决的三个大难题，从而实现的一次次突破和发展。它们分别是：曲线之谜、运动之谜和变化之谜。

前言

今天为你解读的这本书，是一本非常有意思的科普书，叫《微积分的力量》。

乍一听“微积分”这三个字，我估计好多人的第一反应是：太复杂，又和我们的日常生活没什么关系。其实我自己当年上学的时候，也有这个感觉。微积分对我来说，充其量就是一门，需要连续熬夜好几天才能应付的高数课。

但是读完这本书之后，它彻底颠覆了我对微积分，甚至是对数学的认识。书中既没有什么晦涩难懂的数学符号和公式，也不要求我们得有什么高阶的数学基础。作者就探讨了一个核心问题：微积分到底有什么用？

你肯定无法想象，如果没有微积分，人类就不可能发明手机、计算机和微波炉，也不会拥有电视、超声检查和gps导航系统，更不可能把宇航员送上月球，或是治疗艾滋病等等。可以说，从宇宙的深奥谜题，到科技的发明创造，再到日常的衣食住行，微积分无处不在。物理学家理查德·费曼曾经就说过这么一句话：微积分是上帝的语言。

那这一切都是如何发生的呢？为什么费曼会说，微积分是上帝的语言呢？

今天这本书能够回答这些问题。这本书的作者是史蒂夫·斯托加茨，他是美国康奈尔大学应用数学系的教授。他的身份有点特殊，不知道你注意到没，他是一名应用数学家。

所以，在这本书中，斯托加茨抛开了各种理论公式，用一种特别接地气的方式，为我们讲述了在人类文明进程中，微积分到底扮演了什么样的角色？对我们的日常生活又产生了怎样的影响。斯托加茨把微积分这个数学语言，真正还原到了它解决了什么问题的那个真实场景中。这就像我们常说的：知识的本身只是知识的一半，还有一半，是它当时解决的那个问题。

接下来，我就通过三个部分为你解读这本书。这三个部分分别对应，微积分在人类文明进程中，解决的三个大难题，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。弄懂了这几个谜题，相信你一定会对微积分的力量和数学之美，有不一样的认识和体会。

第一部分

首先，我们进入第一部分。在正式解答曲线之谜之前，我们先来简单认识一下，微积分是什么？

说实话，作者在书中给出的答案，和我之前预想的差别有点大。他用一句话就简单说清楚了微积分的核心价值。那就是，让复杂的难题简单化。微积分可以分成两个步骤，切分和重组，也就是说先是把一个复杂的问题分解成无穷个小问题，然后找到这些微小问题的答案后，再把它们重新组合起来。

乍一听，这个策略好像也不难理解，很多善于解决问题的高手都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。麦肯锡咨询公司曾经提出来的一个mece原则，说的就是在界定问题时，要把复杂的问题细分成多个可以单独解决的小问题，有了抓手之后当然也方便开展工作。

但是作者在这里提醒我们，微积分真正关键的地方就在于，它把这种，分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。

它不是把一个大问题切分成有限的几小块，而是无休无止地切分下去，直到这个问题被切分成，无穷多个最微小但是又可以想象出来的样子。这是一个无限做减法的过程，目的就是为了当人们面前有一座珠穆朗玛峰的时候，你能够鼓足勇气迈出最最简单的第一步。

我们把时间拨回到公元前250年左右，当时的古希腊几何学家们，正面对一个特别棘手的问题，他们努力地寻找如何才能迈出第一步的方法。

当时的人们，基本上已经掌握了和直线形状或者是多边形有关的数学方法，比如说如何测量角度，如何利用勾股定理计算边长，或者是计算各种边长与面积的关系。不过，人们对曲线或由曲线形状构成的物体就了解得很少了。比如说圆形，在自然界随处可见，早期的几何学家对圆、球体和圆柱体都很感兴趣，但他们发现，曲线形状分析起来太困难，所有弯曲的东西都难以捉摸。人们无法计算出最基本的圆的面积。

作者提到，微积分的思想就是在这样的背景下诞生了。古希腊数学家阿基米德，利用自己的强大的想象力，提出了一个办法。他的策略是，先把圆想象成一个披萨，然后把这个披萨等分成4块。这4块披萨拆开以后，再把它们上下一块对着一块，像锯齿一样拼合在一起。

你会发现，这个时候，它们看上去有点像一个平行四边形。不过，人们对着这个平行四边形，好像还是无从下手计算出它的面积。但是没关系，只要我们切分的披萨块数足够多，比如8块、16块、32块等，我们得到的图形就会看上去越来越像一个长方形，我把图片贴在文稿中。

那长方形的面积当然会算，底乘高，得出来的面积也就是圆的面积（1/2 cr）。

阿基米德的论证过程虽然比我们刚刚说得更加严谨。但是估计你也意识到了，显然，阿基米德通过想象，迈出了第一步。不过紧接着，他又开始好奇，圆的周长c是一条曲线，与圆的直径d，一条直线之间，会不会有什么联系？这就是我们所学的“圆周率π”，π的公式我们当然知道，是c/d。

于是，阿基米德又开始琢磨自己怎样才能计算出圆周率。还是微积分的思想。阿基米德把圆的周长分成很多条微小的直线，虽然我们都知道，圆这么绕一圈，肯定不是由直线构成的，但是在阿基米德看来，只要这些微小的直线数量足够多，那估算也就越准确。

于是，阿基米德选择了从六边形入手，进行一系列计算。之所以选择从六边形入手，是因为六边形包含6个等边三角形，三角形每条边的长度都等于圆的半径r。因此，六边形的周长与圆的直径之比，也就是6r/2r=3，所以，π＞3。当然，六边形看上去还完全不像是一个圆，但对阿基米德来说一切才刚开始。

从六边形中得出结论后，他继续缩短了直线的长度，从六边形到十二边形，再到二十四边形，最终，借助圆内接九十六边形和圆外接九十六边形，阿基米德通过勾股定理，硬生生地算出了π的最终值是：大于3+10/71而小于3+10/70。终于，阿基米德把π限定在了一个具体的范围里，解开了曲线之谜，这在数学史上可以说是一次壮举。

今天的我们当然都知道，圆周率π=3.14159265…，小数点后的数字总是背不完。目前，世界上速度最快的计算机已经算出了圆周率的22万亿个数字，只要算力允许，人们可能会一直算下去。圆周率既没有可见的终点，但又确实存在。它的定义很清晰，就是我们能看见的两个长度，圆的周长和直径之比，但是数本身到底是多少，却又遥不可及。

所以，在作者看来，圆周率正是微积分思想的产物。微积分的思想就是在用无穷来研究有穷，用直线来研究曲线。这是人类发挥想象力实现的一次伟大跳跃。

作者在书中提到，阿基米德建立在微积分思想之上的洞察，比如说利用多边形或者无穷多个部件来进行逼近的方法，直到今天依然熠熠生辉。比如，皮克斯公司的动画师在制作动画的过程中，用到的正是无限切分的方法。动画师通过反复分割一些平面，去逼真地模拟人物布满皱纹的额头、隆起的大鼻子或者是颈部皮肤的褶皱。

我在书里还看到一个有趣的细节，说2009年《阿凡达》电影上映时，为了电影能够更加逼真，潘多拉星球上的每一株植物，动画师都使用了大约100万个多边形来进行模拟，整部影片下来，可以说在当时，《阿凡达》算是第一部使用了数十亿个多边形的电影。

这就是微积分的力量，它帮助人类拿到了第一把破解大自然奥秘的钥匙，一切有关曲线的谜题开始变得有迹可循。

第二部分

好，我们刚刚说完了，公元前250年左右，微积分思想诞生的背景。但是，长路漫漫其修远兮，正如阿基米德在数学的无限性面前也感到了自己生命的有限性。他在自己的著作中最后提出的希望是：在现在和未来的几个世代中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。

那么，下一个谜题是什么？破解它的魔术师又在哪呢？

令人庆幸的是，对自然世界的数学研究，在经过了长达1800多年的沉寂之后，直到17世纪中期，随着代数学、物理学和几何学的发展壮大，微积分也从一种思想进化成了一种真正的数学语言，由此，人们解答了第二个谜题——运动之谜。

故事还得从17世纪早期说起，借助两股力量的催化，微积分才真正诞生。

第一股力量其实就是17世纪初，人们对运动的探索。

通过观察和巧妙的实验，数学家在最简单的运动物体中发现了背后的规律。伽利略测量了钟摆的来回摆动，记录了球滚下斜坡的加速过程，而开普勒绘制了行星在天空中的运行轨迹。在他们看来，这些现象都强化了大自然具有数学规律，就像毕达哥拉斯学派一直坚称的那样，万物皆数。

但是，这里面最大的难题就在于，运动是不稳定的。比如球在滚下斜坡的过程中，你会发现，速度一直在变；再比如行星围绕太阳旋转的过程中，靠近太阳时行星的运动速度会变得更快，远离太阳时它们的运动速度就会减慢。这些现象都很奇怪，那时，人们并不知道该如何处理这种不断变化的运动状态。

虽然，早期的数学家已经掌握了匀速运动的数学公式，距离等于速度乘以时间。但是，当速度这一个量改变，而且是持续不断地改变时，一切都变得不确定了。事实证明，运动之谜和曲线之谜一样，也是一座概念上的珠穆朗玛峰。人们无法用精准的数学语言来推导不断变化的运动，于是对于这些现象的看法，还只能停留在经验性总结的层面，运动之谜就这样暂时被搁置了。

第二股力量来源于，16世纪代数学的飞速发展。代数实际上源自亚洲和中东地区，传入欧洲之后，人们开始把代数学作为一种符号系统进行研究，他们用字母来代表数字。比如我们今天用xyz来表示未知量，用abc来表示常量。这种用字母表示数字的方法，使方程的变换和求解都变得容易了许多。

到了17世纪早期，数学家笛卡尔和费马实现了一个了不起的突破，他们把代数学和几何学联系在了一起，开创了一个新的数学学科，也就是我们今天所说的解析几何。数学方程都可以通过在一个横轴为x，纵轴为y的平面上，来用不同的曲线表示。

你可千万不要小瞧这个xy平面，我们今天所有需要定量的领域，基本上都是在用xy平面，来绘制数据图表和揭示变量之间隐藏的关系。我们可以通过xy平面上的曲线，直观地看出一个因素到底是怎么影响另一个因素的。

数学家笛卡尔和费马的研究为微积分的诞生奠定了坚实的数学基础。不过，遗憾的是，他们始终离运动之谜的答案还差那么一步。

直到17世纪中后期，英国的牛顿和德国的莱布尼茨的出现，彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想联系在了一起，并且又用代数的方式建立了一个通用系统。就像是一个神来之笔，微积分由此正式诞生。

虽然我们今天学习的微积分版本，其实和莱布尼茨的版本有更多的关系，因为莱布尼茨的版本更简洁一些。但是今天的解读时间有限，我还是想重点给你说说，牛顿在这里面的贡献。牛顿解答了运动之谜。

首先，牛顿通过数学工具解决了运动问题，比如算一个物体的运动速度。举个现实生活中的例子。现在，我们需要计算，2008年北京奥运会100米短跑决赛场上，一位叫博尔特的短跑运动员，他的速度。那有人可能会说，这好算，我们拿100米除以博尔特的时间9.69秒，再换算成我们更熟悉的单位，大约是37千米/小时。

但是，显然，这是博尔特整场比赛的平均速度。如果你仔细观察的话，就会发现他在起跑时落后于其他选手，中间速度最快，然后快到终点的时候，他意识到自己已经领先了，速度又放慢下来。

如果我问你，博尔特的最快速度究竟是多少？恐怕我们很难拿平均速度来近似博尔特的瞬时速度。这就是我们前面说的运动难题。速度一直在变，人们很难有什么办法来计算瞬时速度。

不过在牛顿看来，虽然速度一直在变，但是我们可以假设，这个速度不停变化的运动，实际上是由无穷多个，无限短暂的匀速运动组成的。

这句话听上去实在是有点抽象，作者提到，你可以想象，自己正坐在一辆由新手司机驾驶的汽车里，车速忽快忽慢。但是在0.01秒内，即便是这个人技术再差，他也没法那么快地踩油门，速度就不会改变。那么，在比1毫秒短得多的时间间隔内，我们就可以把这个过程看成是一个匀速运动。所以，某个时刻的瞬间速度，其实我们可以假设，就是在这个时刻附近一个无穷小的时间内的平均速度。

平均速度我们当然会算。在这个想法的基础之上，牛顿就开始利用解析几何，用曲线来表示这种瞬间变化。假如在xy平面上，这是一条关于博尔特跑步距离的函数曲线。前面说过，我们如果放大视野中的曲线，曲线的弯曲度就会看上去越来越小，有点像是一段微小的斜坡。

现在我们要，求博尔特在7.2秒这个时刻的瞬时速度。那么，我们可以想象，这不就是等同于要求一个7.2秒这个时刻，附近0.01秒内的平均速度。平均速度等于距离除以时间，时间我们刚刚已经规定好了，是0.01秒。

这个时候，在xy平面中，你就会发现，一个求速度的问题，被转化成了几何学中求斜坡的斜率。在xy平面上，速度等于一个垂直高度Δy除以水平长度Δx。

那如果我们把0.01秒时间范围再缩小一些，当时间t慢慢趋近于0的时候，7.2秒的瞬时速度就相当于，曲线在7.2秒那个时间点的一条切线斜率。这个中间的计算过程有点复杂，我们就不在这多做讨论了。

不过，话说回来，微分，求瞬时速度是一种局部操作。作者提到，这种局部操作，就像是在显微镜下观察事物一样，我们需要用到的信息，也就是博尔特在给定时刻前后的几百分之一或更少秒内的运动情况。相比之下，如果我们拿到一个博尔特在100米过程中，所有瞬时速度的无限长的表格，并且要计算出他在7.2秒时的位置是在哪，那就摊上麻烦了。

因为利用公式：速度×时间=距离。我们会发现，计算只能是，博尔特从起点出发，每次以0.01秒累积的时间在赛道上前进，这种计算方式既费时又费力。所以，从局部推测出整体的难度之大，也是为什么在我们学习过程中，常常感觉积分比微分更难的地方。微分是一种局部操作，而积分则是一种整体操作。我们需要计算每一个微小的部分，才能得到一个关于遥远未来的期望答案。

那有没有什么方法能够提供捷径呢？这就要说到，牛顿做的第二件事。

牛顿把关于距离的问题，转换成了求面积的问题。曲线面积我们会算，那如果我们有一条关于速度的函数曲线，那这条函数曲线下方，从时刻0累积到某个时刻t的面积，就等于物体在t小时后运动的距离。

这就是关于微积分的基本定理，由微分推导出积分，我们就找到了捷径。

要知道，牛顿的伟大之处就在于，在17世纪的欧洲，按照几何学的惯例，人们实际上是把面积看作对形状的一种静态度量，没有人会想到，面积和运动有什么关系。而牛顿把面积看作一个随着时间流动或变化的量。这是非常了不起的一次思维上的突破。

由此，牛顿破解了运动之谜。在他看来，任何类型的运动都可以分解成每次移动一个无穷小步。不光是解释速度这一个变量，哪怕是速度、方向好几个变量同时影响物体的运动状态，牛顿仅用几个微分方程，也能够解释，包括炮弹的飞行轨迹和行星的运行轨道在内的各种现象。作者在书中提到，微积分正式诞生后，数学的基本语言就有了，数学领域的多样性也就开始进化产生。

第三部分

说实话，我在读这本书的过程中，真的是感受到，牛顿和莱布尼茨迈出的这一小步，实际上是人类文明进程中的一大步。因为有了微积分这个基本的数学语言之后，不光看待运动的事物，人们看待所有的变化，目光不一样了。我们不仅可以通过建立数学模型，描述和解释各种变化的现象，甚至是还可以预测某种趋势。正如我们常说的一句话：用发展的眼光看问题。

这也是继牛顿之后，人们一直在用微积分试图解答的第三个谜题——变化之谜。

在作者看来，永恒不变的唯有改变，尽管这句话是老生常谈，但它依然是真理。比如，今天是雨天，明天是晴天，那么有没有预测天气情况的变化定律呢？再比如，今天股票上涨，明天股票下跌，有没有预测关于股票行情的变化定律？有没有适用于人口增长，或者是流行病传播相关的变化定律？微积分是不是可以用来预测公路上的交通流量吗？科学家们正在通过观察和实验，利用微积分求解更多的变化定律，并和其他的科技领域相结合，推动世界的现代化进程。

比如，你肯定无法想象，在医学界人们利用微积分的力量来对抗艾滋病。从20世纪80年代起，艾滋病在全世界造成了数十万人的死亡。最早人们对艾滋病的态度是非常恐惧的。因为这个病很奇怪，通常如果一个人感染艾滋病，会经历三个阶段。首先大概是经历几周的急性期。在这个阶段中，人们会出现类似于流感一样的症状，发烧、皮疹和头痛等，然后通过自身的免疫系统工作，这种症状会逐渐消失。

就在好多人都觉得，自己这个病痊愈了，医学也检测不出来任何症状的情况下，艾滋病进入了第二个阶段，长达数十年的无症状期。然后无症状期一旦结束，紧接着就是最后一个阶段，很有可能哪天突然发病，来势汹汹，这个人会在短时间内死亡，而且死亡率极高。这是一件非常诡异的事，当时的人们无法理解这种意外，甚至还有人预测，艾滋病会导致人类灭亡。

不过好在，1995年左右，由何大一博士和数学免疫学家佩雷尔森合作开展的一项研究，改变了人们对艾滋病的看法，也彻底改变了医生对艾滋病的治疗方式。

他们利用微分方程构建了一个病毒浓度变化的模型，通过一系列计算，有了一个重大发现。原来在这十年的无症状期，病毒并不是像人们看到的那样被完全消灭了，而是它产生的速度和人体免疫系统的清除速度一样快。在看似平静的10年无症状期，患者体内持续发生着一场大规模的战争。每一天，被感染的细胞则会释放出10亿个新的病毒颗粒，而免疫系统也会清除10亿个病毒颗粒。免疫系统全力以赴地和病毒展开了激烈的较量，战争似乎进入了胶着状态，这才是真相。

因此，科学家提出，从关键的第一阶段感染期，免疫系统就需要尽快得到它能获得的一切帮助，必须联合多种药物，才能打垮和抑制艾滋病。也正因为这项突出的贡献，1996年，何大一博士被评选为《时代周刊》的年度风云人物，微积分的存在，让艾滋病变成了一种可以控制的慢性疾病，也给人们带来了治愈的希望。

再比如，我们也许无法想象，只有借助微积分进行计算，人类的飞行安全才能够得到保障。要知道，飞机的几何结构十分复杂。就像是我们前面提到的，在电影中动画师构建无数多个多边形来模拟人物一样，工程师也需要将机翼近似分解成几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，然后再通过偏微分方程，来预测每个构建单元对空中的气流会做出怎样的反应，最终在超级计算机的帮助下，所有这些反应被组合起来，才能够用于预测飞机在空中高速飞行时机翼的总体振动情况。

同样也是借助微积分，人类的视野由地球扩大到了宇宙，并真正实现了太空探索。在浩瀚的宇宙中，细节决定生死。微积分使宇宙飞船能够按照既定的飞行轨道稳定飞行和安全降落成为可能。

作者在书中提到，微积分有点像是人类在不经意间发现了一种奇怪的语言，它是一个由符号和逻辑构成的想象领域，而大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。

神奇的地方就在于，如果从现实世界到想象领域的转换足够巧妙，人们就可以把一个经过长期观察，总结出来的经验性的规律，用某种数学符号来表示。然后通过一系列计算或逻辑推理，得出来另一个经验规律。这个经验规律有可能是人们已经知道的，也有可能完全是新的，是还没有人知道的关于大自然的奥秘。

比如麦克斯韦利用微积分预测电磁波的存在，再比如爱因斯坦在广义相对论中就借助微分方程预测了引力波的存在，而直到2017年，诺贝尔物理学奖获得者才设计出了一个有史以来最灵敏的探测器，证明了引力波的存在。这就是微积分的力量，它让人类可以放眼未来，预测未知。

结语

好，这本斯托加茨的《微积分的力量》我们今天就先说到这。

总结一下，在人类文明进程中，有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。那么，未来，微积分有没有可能发挥出更大的力量，带着人类走向更远？

答案当然是肯定的。微积分的核心价值，就是把复杂的难题拆分成无穷多个简单的小部分，迈出最最简单的第一步，也就意味着我们已经走在了通往珠穆朗玛峰的路上。

最后，还想和你聊聊我读完这本书之后的一个启发。我发现，其实微积分颠覆了人类理解世界的方式。过去，我们看待事物是凭借经验主义，是粗糙的。而微积分架起了自然世界与科学世界之间的一座桥梁。说个可能不太恰当的比方，微分，让我们找到了一种，能够精准描绘瞬间的方式。而积分，就是把无数个瞬间加和在一起，让人类找到一个可以精准描绘现实和预测未来的方式。

所以，如果你对这本书感兴趣，强烈推荐你去读一读。如果你的家里也有正在上初高中的孩子，也真的推荐你给孩子多讲讲微积分背后的故事。它能够真正燃起我们对数学的兴趣，让我们拥有一双能够发现数学之美的眼睛。

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